Question

7．已知f'（x）为f（x）的导函数，若f（x）=ln$\frac{x}{2}$，且b$\int_1^b$$\frac{1}{x^3}$dx=2f'（a）+$\frac{1}{2}b}$-1，则a+b的最小值为（　　）

• A． $4\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{2}$
• C． $\frac{9}{2}$
• D． $\frac{9}{2}+2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 首先由已知的等式得到a，b的关系式，将所求转化为利用基本不等式求最小值．

解答 解：由b$\int_1^b$$\frac{1}{x^3}$dx=2f'（a）+$\frac{1}{2}b}$-1，得到b（-$\frac{1}{2}$x^-2）|${\;}_{1}^{b}$=$\frac{4}{a}$+$\frac{1}{2}b}$-1，即$\frac{2}{a}+\frac{1}{2b}$=1，且a，b＞0，
所以a+b=（a+b）（$\frac{2}{a}+\frac{1}{2b}$）=$\frac{5}{2}+\frac{2b}{a}+\frac{a}{2b}$$≥\frac{9}{2}$；当且仅当$\frac{2b}{a}=\frac{a}{2b}$时等号成立；
故选C

点评 本题考查了定积分、导数的计算依据利用基本不等式求代数式的最小值．