Question

【题目】如图，在几何体ABDCE中，AB=AD，AE⊥平面ABD，M为线段BD的中点，MC∥AE，AE=MC．
（1）求证：平面BCD⊥平面CDE；
（2）若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC．

Answer 1

【答案】证明：（1）∵AB=AD，M为线段BD的中点，∴AM⊥BD．
∵AE⊥平面ABD，MC∥AE，∴MC⊥平面ABD．
∴MC⊥AM，∴AM⊥平面CBD．
又MC∥AE，MC=AE，∴四边形AMCE为平行四边形，
∴EC∥AM，∴EC⊥平面CBD，
∴平面BCD⊥平面CDE．
（2）∵M为BD中点，N为ED中点，
∴MN∥BE
由（1）知，EC∥AM且AM∩MN=M，BE∩EC=E，
∴平面AMN∥平面BEC．
【解析】（1）先证明AM⊥BD，MC⊥AM，从而AM⊥平面CBD，再由EC⊥平面CBD，能证明平面BCD⊥平面CDE．
（2）由三角形中位线定理得MN∥BE，再由EC∥AM，能证明平面AMN∥平面BEC．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握直线与平面垂直的性质(垂直于同一个平面的两条直线平行)的相关知识才是答题的关键．