Question

【题目】已知椭圆与y轴的正半轴相交于点M，且椭圆E上相异两点A、B满足直线MA,MB的斜率之积为．

（Ⅰ）证明直线AB恒过定点，并求定点的坐标；

（Ⅱ）求三角形ABM的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）直线恒过定点．（2）

【解析】试题分析：利用设而不求思想设出点的坐标，首先考虑 直线斜率不存在的情况，然后研究直线斜率存在的一般情况，设出直线斜截式方程与椭圆方程联立方程组，代入整理后写出根与系数关系，根据MA、MB的斜率之积为，代入，解出，得出直线过定点，第二步联立方程组后利用判别式大于零，求出k的范围，表示三角形的面积，利用基本不等式求出最值 .

试题解析：

解：（Ⅰ）由椭圆的方程得，上顶点,记 由题意知， ，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，故，且，因此，与已知不符，因此直线的斜率存在，设直线： ，代入椭圆的方程得： ………①

因为直线与曲线有公共点，所以方程①有两个非零不等实根，

所以，

又， ，

由 ，得

即

所以

化简得： ，故或，

结合知，

即直线恒过定点．

（Ⅱ）由且得： 或，

又

，当且仅当，即 时， 的面积最大，最大值为 ．