Question

13．已知函数f（x）=|lg（x-1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（　　）

• A． $（{3+2\sqrt{2}，+∞}）$
• B． $[{3+2\sqrt{2}，+∞}）$
• C． （6，+∞）
• D． [6，+∞）

Answer 1

分析 根据对数的性质的可知：函数f（x）=|lg（x-1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），可得$lo{g}_{\frac{1}{10}}（a-1）=lg（b-1）$，即$\frac{1}{a-1}=b-1$，可得a，b的关系，利用基本不等式求解a+2b的取值范围

解答 解：函数f（x）=|lg（x-1）|，
∵1＜a＜b且f（a）=f（b），
则b＞2，1＜a＜2，
∴$lo{g}_{\frac{1}{10}}（a-1）=lg（b-1）$，即$\frac{1}{a-1}=b-1$，
可得：ab-a-b=0．
那么：a=$\frac{b}{b-1}$．
则a+2b=$\frac{b}{b-1}+2b$=$\frac{2{b}^{2}-b}{b-1}=\frac{2（b-1）^{2}+3（b-1）+1}{b-1}$=$2（b-1）+\frac{1}{b-1}+3$$≥2\sqrt{2}+3$，当且仅当b=$\frac{\sqrt{2}}{2}+1$时取等号．
∵b＞2
∴a+2b=$\frac{b}{b-1}+2b$＞6．
故选：C．

点评 本题考查对数函数的性质和基本不等式的综合运用，属于函数函数性质应用题．注意体会数形结合思想在本题中的运用．