Question

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a²+b²=2c²，则角C的取值范围是（　　）

• A． $（{0，\frac{π}{3}}]$
• B． $（{0，\frac{π}{3}}）$
• C． $（{0，\frac{π}{6}}]$
• D． $（{0，\frac{π}{6}}）$

Answer 1

分析 由已知及基本不等式可求c²≥ab，由余弦定理可得cosC≥$\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），可求C的取值范围．

解答 解：∵a²+b²=2c²≥2ab，（当且仅当a=b时等号成立），即c²≥ab，
∴由余弦定理可得：cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{c}^{2}}{2ab}$≥$\frac{{c}^{2}}{2{c}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，（当且仅当a=b时等号成立），
∵C∈（0，π），
∴C∈（0，$\frac{π}{3}$]．
故选：A．

点评 本题主要考查了基本不等式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．