Question

6．已知函数$f（x）=alnx+\frac{1}{x}$，g（x）=bx，a，b∈R．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）对于任意a∈[0，1]，任意x∈[2，e]，总有f（x）≤g（x），求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）令$g（a）=alnx+\frac{1}{x}-bx$，问题转化为$b≥\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x^2}$令$h（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x^2}（{x∈[{2，e}]}）$，根据函数的单调性求出b的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=alnx+\frac{1}{x}$则$f'（x）=\frac{a}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{ax-1}{x^2}（{x＞0}）$，
当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，即f（x）递减区间为（0，+∞），不存在增区间；
当a＞0时，令f'（x）＞0得$x＞\frac{1}{a}$，令f'（x）＜0得$0＜x＜\frac{1}{a}$，
∴f（x）递减区间为$（{0，\frac{1}{a}}）$，递增区间$（{\frac{1}{a}，+∞}）$；
综上：当a≤0时，f（x）递减区间为（0，+∞），不存在增区间；
当a＞0时，f（x）递减区间为$（{0，\frac{1}{a}}）$，递增区间$（{\frac{1}{a}，+∞}）$；
（Ⅱ）令$g（a）=alnx+\frac{1}{x}-bx$，由已知得只需g（1）≤0即$lnx+\frac{1}{x}-bx\;≤0$
若对任意x∈[2，e]，$lnx+\frac{1}{x}-bx\;≤0$恒成立，即$b≥\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x^2}$
令$h（x）=\frac{lnx}{x}+\frac{1}{x^2}（{x∈[{2，e}]}）$，则$h'（x）=\frac{x-xlnx-2}{x^3}$
设m（x）=x-xlnx-2（x∈[2，e]），则m'（x）=1-（1+lnx）=-lnx＜0
∴m（x）在[2，e]递减，m（x）≤m（2）=-2ln2＜0即h'（x）＜0
∴h（x）在[2，e]递减，∴$h{（x）_{max}}=h（2）=\frac{ln2}{2}+\frac{1}{4}$即$b≥\frac{ln2}{2}+\frac{1}{4}$，
∴b的取值范围为$[{\frac{ln2}{2}+\frac{1}{4}，+∞}）$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．