Question

11．在△ABC中，$B=\frac{π}{6}$，BC边上的高等于$\frac{{\sqrt{3}}}{9}BC$，则cosA=（　　）

• A． $\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$
• B． $-\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$
• C． $-\frac{{3\sqrt{39}}}{26}$
• D． $\frac{{3\sqrt{39}}}{26}$

Answer 1

分析 由题意，设BC=x，那么BC边上的高等于$\frac{\sqrt{3}}{9}x$，利用勾股定理建立关系，求出AC，AB，在利于余弦定理求cosA的值．

解答 解：由题意，设BC=x，那么BC边上的高AD=$\frac{\sqrt{3}}{9}x$，
∵∠B=30°，
∴BAD=60°，AB=$\frac{AD}{sin30°}=\frac{\sqrt{3}}{18}x$，
BD=AB•sin60°=$\frac{1}{12}$x，
则DC=x-$\frac{1}{12}x$=$\frac{11}{12}x$．
那么：$A{C}^{2}=（\frac{11}{12}x）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{9}x）^{2}$．
由余弦定理可得：cosA=$\frac{A{C}^{2}+A{B}^{2}-B{C}^{2}}{2AC•AB}$=$-\frac{{5\sqrt{13}}}{26}$．
故选B．

点评 本题考查△ABC的边长与角的关系的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用．