Question

17．如图所示，正八边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈的边长为2，若P为该正八边形边上的动点，则$\overrightarrow{{A_1}{A_3}}•\overrightarrow{{A_1}P}$的取值范围为（　　）

• A． $[0，8+6\sqrt{2}]$
• B． $[-2\sqrt{2}，8+6\sqrt{2}]$
• C． $[-8-6\sqrt{2}，2\sqrt{2}]$
• D． $[-8-6\sqrt{2}，8+6\sqrt{2}]$

Answer 1

分析 由题意求出以A₁为起点，以其它顶点为向量的模，再由正弦函数的单调性及值域可得当P与A₈重合时，$\overrightarrow{{A_1}{A_3}}•\overrightarrow{{A_1}P}$取最小值，求出最小值，结合选项得答案．

解答 解：由题意，正八边形A₁A₂A₃A₄A₅A₆A₇A₈的每一个内角为135°，
且$|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{2}}|=|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{8}}|=2$，$|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{3}}|=|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{7}}|=2\sqrt{2+\sqrt{2}}$，$|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{4}}|=|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{6}}|=2+\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{{A}_{1}{A}_{5}}|=\sqrt{4+2\sqrt{2}}$．
再由正弦函数的单调性及值域可得，
当P与A₈重合时，$\overrightarrow{{A_1}{A_3}}•\overrightarrow{{A_1}P}$最小为$2×2\sqrt{2+\sqrt{2}}×cos112.5°$=$2×2\sqrt{2+\sqrt{2}}×（-\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}）$=$-2\sqrt{2}$．
结合选项可得$\overrightarrow{{A_1}{A_3}}•\overrightarrow{{A_1}P}$的取值范围为$[-2\sqrt{2}，8+6\sqrt{2}]$．
故选：B．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查数形结合的解题思想方法，属中档题．