Question

6．已知函数f（x）=-x³+ax²+bx+c在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
（1）求b的值；
（2）曲线y=f（x）在点（2，2）处的切线斜率-1，求实数a，c的值；
（3）若a=2，讨论函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析 （1）令f′（0）=0解出b；
（2）令f（2）=2，f′（2）=-1列方程组解出；
（3）判断f（x）的单调性，求出f（x）的极大值和极小值，对极值进行讨论得出f（x）的零点个数．

解答 解：（1）∵f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，1）上是增函数，
∴x=0为f（x）的极小值点，
∴f′（0）=b=0，
（2）∵曲线y=f（x）在点（2，2）处的切线斜率-1，
∴f′（2）=-1，f（2）=2，
即$\left\{\begin{array}{l}{-12+4a=-1}\\{-8+4a+c=2}\end{array}\right.$，解得a=$\frac{11}{4}$，c=-1．
（3）a=2时，f（x）=-x³+2x²+c，f′（x）=-3x²+4x，
令f′（x）=0得-3x²+4x=0，解得x=0或x=$\frac{4}{3}$，
当x＜0或x＞$\frac{4}{3}$时，f′（x）＜0，当0＜x＜$\frac{4}{3}$时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，$\frac{4}{3}$）上是增函数，在（$\frac{4}{3}$，+∞）上是减函数，
∴当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=c，当x=$\frac{4}{3}$时，f（x）取得极大值f（$\frac{4}{3}$）=$\frac{32}{27}$+c．
∴当c＞0或$\frac{32}{27}$+c＜0，即c＞0或c＜-$\frac{32}{27}$时，f（x）有一个零点．
若c=0或$\frac{32}{27}$+c=0，即c=0或c=-$\frac{32}{27}$时，f（x）有两个零点．
当$\left\{\begin{array}{l}{c＜0}\\{\frac{32}{27}+c＞0}\end{array}\right.$即-$\frac{32}{27}$＜c＜0时，f（x）有三个零点．

点评 本题考查了导数的几何意义，函数的单调性与极值计算，零点与极值的关系，属于中档题．