Question

如图，四边形ABCD是正方形，PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，PB＝AB＝2MA.

求证：（1）平面AMD∥平面BPC；（2）平面PMD^平面PBD．

Answer 1

（1）根据三角形的中位线，结合MA∥平面BPC，同理DA∥平面BPC来证明面面平行。
（2）根据题意，由于PB^平面ABCD ，通过性质定理得到MF^BD ，进而证明MF^平面PBD，得证。

试题分析：证明：（Ⅰ）∵PB^平面ABCD，MA^平面ABCD，∴PB∥MA． 2分
∵PBÌ平面BPC，MA平面BPC，∴MA∥平面BPC．   4分
同理DA∥平面BPC，       5分
∵MAÌ平面AMD，ADÌ平面AMD，MA∩AD＝A，
∴平面AMD∥平面BPC．     7分
（Ⅱ）连结AC，设AC∩BD＝E，取PD中点F，连接EF，MF．
∵ABCD为正方形，∴E为BD中点．又F为PD中点，．
又，
∴．∴AEFM为平行四边形．        10分
∴MF∥AE．
∵PB^平面ABCD，AEÌ平面ABCD，∴PB^AE．∴MF^PB．  12分
因为ABCD为正方形，∴AC^BD．∴MF^BD．
又，∴MF^平面PBD．                     13分
又MFÌ平面PMD．∴平面PMD^平面PBD．       14分
点评：解决该试题的关键是熟练的根据面面的位置关系，来结合判定定理来加以证明，属于基础题。