Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）在锐角三角形ABC中，若f（A）=1，bc=2，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

3

），由周期公式可求T，由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得函数f（x）的单调递增区间；
（2）由已知得sin（2A+

π

3

）=

1

2

，可解得：2A+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈Z，或2A+

π

3

=2kπ+

π

6

，k∈Z（舍去），又△ABC为锐角三角形，可得A，又bc=2，由三角形面积公式即可得解．

解答： 解：（1）∵f（x）=2sinxcosx+2

3

cos²x-

3

=sin2x+

3

cos2x=2sin（2x+

π

3

），
∴T=

2π

2

=π，
∴由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z可解得：kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间是：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

3

）=1，即有：sin（2A+

π

3

）=

1

2

，
∴可解得：2A+

π

3

=2kπ+

5π

6

，k∈Z，或2A+

π

3

=2kπ+

π

6

，k∈Z（舍去），
∴可解得：A=kπ+

π

4

，k∈Z，
又△ABC为锐角三角形，
则A=

π

4

，又bc=2，
则△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

1

2

×2×

2

2

=

2

2

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的周期性及单调性，考查了余弦定理，三角形面积公式的应用，属于中档题．