Question

设函数f（x）=x（e^x+ae^-x）（x∈R）是偶函数，二项式（x-

2a

x

）⁶的展开式中，x²项的系数为

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：计算题,二项式定理

分析：由函数是偶函数，直接用特殊值求解a，（x-

2a

x

）⁶的通项为T_r+1=C₆^r•（x）^6-r•（

2

x

）^r=C₆^r•2^r•（x）^6-2r，令6-2r=2，可得r=2，将r=2代入通项可得T₃=60x²，即可得答案．

解答： 解：因为函数f（x）=x（e^x+ae^-x）（x∈R）是偶函数，
所以g（x）=e^x+ae^-x为奇函数
由g（0）=0，得a=-1．
根据二项式定理，（x-

2a

x

）⁶的通项为T_r+1=C₆^r•（x）^6-r•（

2

x

）^r=C₆^r•2^r•（x）^6-2r，
当6-2r=2时，即r=2时，可得T₃=60x²，
即x²项的系数为60，
故答案为：60．

点评：本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别．