Question

已知函数f（x）=

-x2+3x-2(x≤0) lnx(x＞0)

，若|f（x）|≥a（x-1），则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-1]
• B、（-∞，1]
• C、[-1，1]
• D、[-1，0]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,分类讨论,函数的性质及应用

分析：对x讨论，①当x≥1时，②当0＜x＜1时，③当x≤0时，分别去掉绝对值，运用导数和参数分离，判断函数的单调性，求出最值，最后求交集即可得到a的范围．

解答： 解：①当x≥1时，|f（x）|≥a（x-1）即为lnx≥a（x-1），
令y=lnx-a（x-1），y′=

1

x

-a，由于x≥1则0＜

1

x

≤1，
当a≤0时，y′＞0，函数y在x≥1递增，即有y≥ln1-a（1-1）=0，成立；
当a≥1时，y′＜0，函数y在x≥1递减，不等式不成立；
当0＜a＜1时，函数y不单调，则不成立；
②当0＜x＜1时，|f（x）|≥a（x-1）即为-lnx≥a（x-1），
令y=-lnx-a（x-1），y′=-

1

x

-a，由于0＜x＜1，则-

1

x

＜-1，
当a≥-1时，y′＜0，函数y在0＜x＜1递减，即有y＞-ln1-a（1-1）=0，成立；
当a＜-1时，函数y不单调，则不成立；
③当x≤0时，|f（x）|≥a（x-1）即为x²-3x+2≥a（x-1），
即（x-2）（x-1）≥a（x-1），即有a≥x-2，
由x≤0，则x-2≤-2，即有a≥-2．
综上可得，a≤0且a≥-1，且a≥-2，
即为-1≤a≤0，
故选D．

点评：本题考查分段函数的运用，考查不等式的恒成立问题转化为函数的最值，运用分类讨论的思想方法是解决本题的关键．