Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且点A（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+2上，数列{b_n}的前n项和为{S_n}，且S_n=2b_n-2（n∈N^*）
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求b₁，b₂的值，并求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）设c_n=b_nsin²

nπ

2

-a_ncos²

nπ

2

（n∈N^*），求数列{c_n}的前8项和T₈．

Answer 1

考点：数列与三角函数的综合

专题：计算题,等差数列与等比数列,三角函数的求值

分析：（Ⅰ）代入点A（a_n，a_n+1），由等差数列的通项公式可得；
（Ⅱ）由条件先求首项，再令n=2，当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1，由等比数列的通项公式即可得到；
（Ⅲ）由条件分别求出数列{c_n}的前8项，结合等差数列和等比数列的通项，即可计算得到．

解答： 解：（Ⅰ）点A（a_n，a_n+1）（n∈N^*）在直线y=x+2上，
∴a_n+1=a_n+2，
∴{a_n}是等差数列，公差d为2，首项a₁=1，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1；                                   
（Ⅱ）由于S_n=2b_n-2（n∈N^*）
则当n=1时，b₁=S₁=2b₁-2，解得b₁=2，
由S₂=b₁+b₂=2b₂-2，
得b₂=4，同理b₃=8，
所以当n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1（n≥2），
∴{b_n}是等比数列，公比为2，首项b₁=2
∴b_n=2ⁿ；                                            
（Ⅲ）由于c_n=b_nsin²

nπ

2

-a_ncos²

nπ

2

（n∈N^*），
则c₁=b₁，c₂=-a₂，c₃=b₃，c₄=-a₄，c₅=b₅，c₆=-b₆，c₇=b₇，c₈=-a₈，
∴T₈=b₁+b₃+b₅+b₇-（a₂+a₄+a₆+a₈）
=2+2³+2⁵+2⁷-（3+7+11+15）=134．

点评：本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查数列的通项和前n项和的关系，同时考查三角函数的求值，属于中档题和易错题．