Question

已知双曲线Γ的焦点为（0，-2）和（0，2），离心率为

2 3

3

，过双曲线Γ的上支上一点P作双曲线Γ的切线交两条渐近线分别于点A，B（A，B在x轴上方）．
（1）求双曲线Γ的标准方程；
（2）探究

OA

•

OB

是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）依题意可设双曲线的标准方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），由c=2，

c

a

=

2 3

3

，b²=c²-a²，解出a，b，即可得到双曲线方程；
（2）

OA

•

OB

是定值2．设出直线AB的方程，联立双曲线方程，消去y，由判别式为0，可得k²+b²=3，再由双曲线的渐近线方程和直线AB的方程联立，可得A，B的横坐标之积和纵坐标之积，结合向量的数量积的坐标表示，计算即可得到定值．

解答： 解：（1）依题意可设双曲线的标准方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵c=2，

c

a

=

2 3

3

，b²=c²-a²，∴a=

3

，b=1，
∴双曲线的标准方程为

y2

3

-x²=1．
（2）

OA

•

OB

是定值2，理由如下：
设直线AB：y=kx+b（b＞0），
由

y=kx+b y2-3x2=3

得（k²-3）x²+2kbx+b²-3=0，
则k²-3≠0，△=（2kb）²-4（k²-3）（b²-3）=0，
解得k²+b²=3，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁＞0，y₂＞0，
由双曲线渐近线方程：y²-3x²=0与y=kx+b联立，
得 （k²-3）x²+2kbx+b²=0，
则k²-3≠0，△=（2kb）²-4（k²-3）b²＞0，
则x₁x₂=

b2

k2-3

=

3-k2

k2-3

=-1，y₁y₂=3|x₁x₂|=3，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=-1+3=2．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用判别式和韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题和易错题．