Question

在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=1，点P是边AB上异于A、B的一点，光线从点P出发，经BC、CA反射后又回到点P（如图所示），若光线QR经过△ABC的重心，则AP=（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  1

  4

• C、

  2

  3

• D、

  1

  3

Answer 1

考点：与直线关于点、直线对称的直线方程,三角形五心

专题：直线与圆

分析：建立坐标系，利用光的反射与轴对称的性质确定QR的所在直线斜率k，根据重心坐标公式求出重心G，代入k=k_RG即可求解．

解答： 解：建立如图所示的直角坐标系，
可得B（1，0），C（0，1）
∴BC的方程为x+y-1=0，△ABC的重心G为（

1

3

，

1

3

），
设M，N分别是点P关于直线BC和y轴的对称点，设点P（a，0）
则M（1，1-a），N（-a，0），
由光的反射原理可知，M，Q，R，N四点共线，
∴k_MN=k_NG
即

1-a

1+a

=

1 3

1 3 +a

，解得a=

1

3

，
故选D．

点评：本题考查三角形的性质，和轴对称图形灵活应用，属于中档题．