Question

设直线l₁，l₂的斜率是一元二次方程（a+2b-3）x²-3（a³-4b²+5）x+3-a-2b=0的两个根，试问是否存在实数a，b使得直线l₁⊥l₂，若存在，求出a，b满足的关系式．

Answer 1

考点：直线的一般式方程与直线的垂直关系

专题：直线与圆

分析：设直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．利用一元二次方程的实数根与判别式的关系、根与系数的关系可得：a+2b-3≠0，△＞0，k₁k₂=

3-a-2b

a+2b-3

=-1．即可得出．

解答： 解：设直线l₁，l₂的斜率分别为k₁，k₂．
∵直线l₁，l₂的斜率是一元二次方程（a+2b-3）x²-3（a³-4b²+5）x+3-a-2b=0的两个根，
∴a+2b-3≠0，△=9（a³-4b²+5）²-4（a+2b-3）（3-a-2b）＞0，k₁k₂=

3-a-2b

a+2b-3

=-1，
△＞0化为（3a³-12b²+15）²+4（a+2b-3）²＞0，
∵a+2b-3≠0，∴上述不等式恒成立．
因此只要a+2b-3≠0，则存在实数a，b使得直线l₁⊥l₂．

点评：本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．