Question

已知曲线C₁的参数方程是

x=2cosθ y=sinθ

（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=2sinθ．
（1）写出C₁的极坐标方程和C₂的直角坐标方程；
（2）已知点M₁、M₂的极坐标分别为(1，

π

2

)和（2，0），直线M₁M₂与曲线C₂相交于P，Q两点，射线OP与曲线C₁相交于点A，射线OQ与曲线C₁相交于点B，求

1

|OA|2

+

1

|OB|2

的值．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：

分析：（1）利用cos²θ+sin²θ=1，即可曲线C₁的参数方程化为普通方程，进而利用

x=ρcosθ y=ρsinθ

即可化为极坐标方程，同理可得曲线C₂的直角坐标方程；
（2）由点M₁、M₂的极坐标可得直角坐标：M₁（0，1），M₂（2，0），可得直线M₁M₂的方程为

x

2

+y=1，此直线经过圆心，可得线段PQ是圆x²+（y-1）²=1的一条直径，可得得OA⊥OB，A，B是椭圆

x2

4

+y2=1上的两点，在极坐标下，设A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+

π

2

)，代入椭圆的方程即可证明．

解答： 解：（1）曲线C₁的普通方程为

x2

4

+y2=1，
化成极坐标方程为

ρ2cos2θ

4

+ρ2sin2θ=1，
曲线C₂的极坐标方程是ρ=2sinθ，化为ρ²=2ρsinθ，
可得：曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²=2x，配方为x²+（y-1）²=1．
（2）由点M₁、M₂的极坐标分别为(1，

π

2

)和（2，0），
可得直角坐标：M₁（0，1），M₂（2，0），
∴直线M₁M₂的方程为

x

2

+y=1，化为x+2y-2=0，
∵此直线经过圆心（0，1），
∴线段PQ是圆x²+（y-1）²=1的一条直径，
∴∠POQ=90°，
由OP⊥OQ得OA⊥OB，
A，B是椭圆

x2

4

+y2=1上的两点，
在极坐标下，设A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ+

π

2

)，
分别代入

ρ2cos2θ

4

+ρ2sin2θ=1中，
有

ρ12cos2θ

4

+ρ12sin2θ=1和

ρ22cos2(θ+ π 2 )

4

+ρ22sin2(θ+

π

2

)=1，
∴

1

ρ12

=

cos2θ

4

+sin2θ，

1

ρ22

=

sin2θ

4

+cos2θ，
则

1

ρ12

+

1

ρ22

=

5

4

，即

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

5

4

．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、圆的性质，考查了推理能力与计算能力，考查数形结合思想和化归与转化思想，属于难题．