Question

下列四条性质：
①最小正周期是π；
②图象关于直线x=

π

3

对称；
③图象关于点（

π

12

，0）对称；
④在[-

π

6

，

π

3

]上是增函数．
下列函数同时具有上述性质的一个函数是（　　）

• A、y=sin（

  x

  2

  +

  π

  6

  ）
• B、y=sin（2x-

  π

  6

  ）
• C、y=cos（2x+

  π

  3

  ）
• D、y=sin（2x+

  π

  6

  ）

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：逐一判断各个选项中函数的周期性、单调性以及图象的对称性，从而得出结论．

解答： 解：由于函数y=sin（

x

2

+

π

6

）的最小正周期为

2π

1 2

=4π，不满足条件①，故排除A．
由于函数y=sin（2x-

π

6

）的最小正周期为

2π

2

=π，满足条件①；当x=

π

3

时，函数取得最大值，图象关于直线x=

π

3

对称，故满足条件②；
当x=

π

12

时，函数值为零，图象关于点（

π

12

，0）对称，故满足条件③；在[-

π

6

，

π

3

]上，2x-

π

6

∈[-

π

2

，

π

2

]，函数为增函数，故满足条件④．
综上可得，函数y=sin（2x-

π

6

）满足所给的4个条件．
由于函数y=sin（2x+

π

3

），当x=

π

3

时，函数值为零，图象不关于直线x=

π

3

对称，故不满足条件②；故排除C．
由于函数y=sin（

x

2

+

π

6

）当x=

π

3

时，函数值为

3

2

，不是最值，图象不关于直线x=

π

3

对称，故不满足条件②，故排除D．
故选：B．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、对称性和单调性，属于中档题．