Question

已知等比数列{a_n}中，a₁=2，a₄=16
（1）求公比q；
（2）若数列{b_n}为等差数列，且满足b₂=a₂-1，b₃=

5

8

a₃，求数列{b_n}的通项公式；
（3）求数列{a_n•b_n}的n前项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）直接由已知列式求出等比数列的公比；
（2）由（1）求出等比数列的通项公式，得到a₂，a₃的值，代入b₂=a₂-1，b₃=

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a₃，求出等差数列{b_n}的首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（3）把{a_n}、{b_n}代入数列{a_n•b_n}，然后直接利用错位相减法求其前n项和T_n．

解答： 解：（1）由

a1=2 a4=a1q3=16

，
∴q³=8，即q=2；
（2）由（1）知an=2n，
∴a2=22=4，a3=23=8．
∴b₂=4-1=3，b3=

5

8

×8=5．
∴b₃-b₂=5-3=2．
∴b₂-b₁=2．
即3-b₁=2，解得b₁=1．
∴b_n=1+2（n-1）=2n-1；
（3）anbn=2n•(2n-1)．
∴Tn=1×21+3×22+5×23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n   ①
2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)•2n+(2n-1)•2n+1   ②
①-②得：-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)•2n+1
=2+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+

8(1-2n-1)

1-2

-(2n-1)•2n+1
=2+8（2^n-1-1）-（2n-1）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-（2n-3）•2ⁿ⁺¹-6．
Tn=(2n-3)•2n+1+6．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了错位相减法求数列的和，是中档题．