Question

已知△ABC的外接圆是单位圆圆O，且∠ABC=

π

6

，记∠BAC=x，f（x）=

OA

•

OB

+

OB

•

OC

+

OC

•

OA

．
（1）求f（x）的解析式及值域；
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,正弦定理,余弦定理

专题：综合题,三角函数的图像与性质,平面向量及应用

分析：（1）利用三角形外接圆的性质可得f（x）=

OA

•

OB

+

OB

•

OC

+

OC

•

OA

=cos2C+cos2A+cos2B，再利用三角恒等变换可化简为

3

cos(2x+

π

6

)+

1

2

，由A+C=x+C=

5

6

π，得0＜x＜

5

6

π，进而可得

π

6

＜2x+

π

6

＜

11

6

π，借助余弦函数的单调性可求值域；
（2）由正弦定理

b

sinB

=2R，得b=1，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得1=a2+c2-

3

ac≥(2-

3

)ac，从而有S△ABC=

1

2

acsinB=

1

4

ac≤

2+ 3

4

；

解答： 解：（1）由已知得f（x）=

OA

•

OB

+

OB

•

OC

+

OC

•

OA

=cos2C+cos2A+cos2B
=cos2（

5

6

π-x）+cos2x+

1

2

=

3

2

cos2x-

3

2

sin2x+

1

2

=

3

cos(2x+

π

6

)+

1

2

．
∵A+C=x+C=

5

6

π，∴0＜x＜

5

6

π，

π

6

＜2x+

π

6

＜

11

6

π，
∴-1≤cos（2x+

π

6

）＜

3

2

，

1

2

-

3

≤f（x）＜2，
∴所求解析式为f（x）=

3

cos(2x+

π

6

)+

1

2

，值域是[

1

2

-

3

，2）．
（2）由正弦定理

b

sinB

=2R，得b=1，
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得1=a2+c2-

3

ac≥(2-

3

)ac，
∴ac≤2+

3

，
∴S△ABC=

1

2

acsinB=

1

4

ac≤

2+ 3

4

，即△ABC的面积的最大值为

2+ 3

4

．

点评：本题考查平面向量数量积的运算、三角形面积公式、基本不等式、正弦余弦定理等知识，综合性较强，运算量稍大．