Question

若将函数f（x）=x⁵表示为f（x）=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…a₅（1+x）⁵，其中a₀，a₁，a₂，…，a₅为实数，则a₀+a₃=

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：将x⁵转化[（x+1）-1]⁵，然后利用二项式定理进行展开，使之与f（x）=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵进行比较，可得所求．

解答： 解：f（x）=x⁵=[（x+1）-1]⁵=

C

0 5

（x+1）⁵+

C

1 5

（x+1）⁴（-1）+

C

2 5

（x+1）³（-1）²+

C

3 5

（x+1）²（-1）³+

C

4 5

（x+1）¹（-1）⁴+

C

5 5

（-1）⁵
而f（x）=a₀+a₁（1+x）+a₂（1+x）²+…+a₅（1+x）⁵，
∴a₃=

C

2 5

（-1）²=10，a₀=

C

5 5

（-1）⁵=-1，
∴a₀+a₃=9．
故答案为：9．

点评：本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键利用x⁵=[（x+1）-1]⁵展开，同时考查了计算能力，属于中档题．