Question

己知α∈R，sinα+2cosα=

5

，则tan2α=

 

．

Answer 1

考点：二倍角的正切,同角三角函数基本关系的运用

专题：三角函数的求值

分析：依题意可求得cosα=

2 5

5

，于是sinα=

5

5

，于是有tanα=

1

2

，利用二倍角的正切即可求得tan2α．

解答： 解：∵sinα+2cosα=

5

，sin²α+cos²α=1，
∴(

5

-2cosα)2+cos²α=1，
整理得：(

5

cosα-2)2=0，
解得：cosα=

2

5

=

2 5

5

，于是sinα=

1

5

=

5

5

；
∴tanα=

1

2

，
∴tan2α=

2tanα

1-tan2α

=

2× 1 2

1-( 1 2 )2

=

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题考查二倍角的正切，考查同角三角函数基本关系的运用，求得tanα=

1

2

是关键，考查运算能力，属于中档题．