Question

12．求下列圆锥曲线的标准方程．
（1）经过A（1，$\frac{3}{2}$），B（2，0）的椭圆；
（2）以抛物线y²=4$\sqrt{10}$x的焦点，以直线y=±$\frac{x}{2}$为渐近线的双曲线．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法设椭圆方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0且m≠n），代入进行求解即可．
（2）根据抛物线和双曲线的性质，利用待定系数法进行求解．

解答 解：1）设经过A（1，$\frac{3}{2}$），B（2，0）的椭圆方程为mx²+ny²=1，（m＞0，n＞0且m≠n），
则$\left\{\begin{array}{l}{m+\frac{9}{4}n=1}\\{4m=1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{1}{4}}\\{n=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，即椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）抛物线y²=4$\sqrt{10}$x的焦点为（$\sqrt{10}$，0），
则以直线y=±$\frac{x}{2}$为渐近线的双曲线方程设为$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=λ，（λ＞0）．
则$\frac{{x}^{2}}{4λ}$-$\frac{{y}^{2}}{λ}$=1，
则a²+b²=4λ+λ=5λ=10，得λ=2，
即双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{2}$=1．

点评 本题主要考查双曲线和椭圆方程的求解，利用待定系数法是解决本题的关键．