Question

试判断|a|≥3 是关于x的方程x²+ax+1=0在区间[-1，1]上有解的什么条件？并给出判断理由．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：由题意知方程在区间上有且只有一个根，由函数零点的存在定理，函数f（x）=x²+ax+1满足f（1）f（5）≤0，由此求得实数a的取值范围，进而结合充要条件的定义，可得答案．

解答： 解：由于方程x²+ax+1=0有解，设它的两个解分别为 x₁，x₂，则x₁•x₂=1，
故方程x²+ax+1=0在区间[-1，1]上有唯一解．
设f（x）=x²+ax+1，则有f（-1）f（1）≤0，即 （-a+2）（a+1）≤0，
解得a≤-1，或x≥2，
解|a|≥3得：a≤-3，或a≥3，
∵{a|a≤-3，或x≥3}?{a|a≤-1，或x≥2}，
故|a|≥3 是关于x的方程x²+ax+1=0在区间[-1，1]上有解的充分不必要条件．

点评：本题考查一元二次方程根的分布于系数的关系，如果方程在某区间上有且只有一个根，可根据函数的零点存在定理进行解答，本题解题的关键是对于所给的条件的转化，本题是一个中档题目．