Question

过双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）左焦点F斜率为

a

b

的直线l分别与C的两渐近线交于点P与Q，若

FP

=

PQ

，则C的渐近线的斜率为（　　）

• A、±

  3

• B、±2
• C、±1
• D、±

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先写出双曲线的渐近线方程y=±

b

a

x，和直线l的方程y=

a

b

(x+c)，为便于求

b

a

，设

b

a

=k，根据渐近线方程和直线l的方程形成的方程组能够分别求出Q，P两点的横坐标，从而求出向量

FP

，

PQ

的横坐标，而根据

FP

=

PQ

即可建立关于k的方程，解方程即得k的值，从而得到C的渐近线的斜率．

解答： 解：双曲线C的渐近线方程为y=±

b

a

x，直线l的方程为y=

a

b

(x+c)，设

b

a

=k，则：
由

y=kx y= 1 k (x+c)

得，（k²-1）x=c；
∴x=

c

k2-1

，即Q点的横坐标为

c

k2-1

；
同样可求得P点的横坐标为-

c

1+k2

；
∵

FP

=

PQ

；
∴

c

k2-1

-(-

c

1+k2

)=-

c

1+k2

-(-c)；
解得k=±

3

；
即C的渐近线的斜率为±

3

．
故选A．

点评：考查双曲线的标准方程，焦点及其渐近线方程，以及直线的点斜式方程，通过方程组消去y从而得到交点的横坐标，向量相等时向量坐标的关系．