Question

3．已知抛物线y²=2px（p＞0）上任意一点到直线y=x+2的距离的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求抛物线的方程；
（2）若过（3，0）且斜率为l的直线交抛物线于D，H两点，将线段DH向左平移3个单位长度至D₁H₁，则在抛物线上是否存在点E，使得S_△EDH-S${\;}_{△E{D}_{1}{H}_{1}}$最大？若存在，求出最大值及点E的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的距离与已知条件抛物线y²=2px（p＞0）上任意一点到直线y=x+2的距离的最小值的关系，求出P．
（2）求出线段的长度，判断平移后的直线与抛物线的关系，通过E所在位置讨论三角形面积的最值，推出结果．

解答 解：（1）抛物线y²=2px（p＞0）上任意一点到直线y=x+2的距离的最小值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$．设与直线平行直线方程为：y=x+m，平行线与抛物线相切时，切点到直线的距离取得最小值．
可得：$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x+m}\end{array}\right.$，消去y可得：x²+（2m-2p）x+m²=0，相切时△=4（m-p）²-m²=0，解得p=2m．
所以：$\frac{|m-2|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，解得m=1，p=2．m=3（舍去此时y=x+2与抛物线相交）．
抛物线的方程为：y²=4x．
（2）由题意可得DH的方程为：y=x-3，$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-3}\end{array}\right.$，可得x²-10x+9=0，解得x=1或x=9．
不妨D（1，-2），H（9，6）．所以DH=$\sqrt{（9-1）^{2}+（6+2）^{2}}$=8$\sqrt{2}$．
将线段DH向左平移3个单位长度至D₁H₁，可得D₁H₁的方程为：y=x，如图：
两条平行线的距离为：$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，E到D₁H₁，的距离为d，到DH的距离为：d+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
当E在抛物线OC弧时，E到D₁H₁的距离为d，到DH的距离为：d+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴S_△EDH-S${\;}_{△E{D}_{1}{H}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=12．
当E在抛物线夹在两条平行线之间的弧时，E接近O与C时，差值比较大，接近$\frac{1}{2}×8\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=12．小于12．
当E在抛物线D，H的右侧时，E到D₁H₁的距离为d，到DH的距离为：d-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
S_△EDH-S${\;}_{△E{D}_{1}{H}_{1}}$=-$\frac{1}{2}$×8$\sqrt{2}$×$\frac{3\sqrt{2}}{2}$=-12．
存在最大值为12，点E的坐标在图形抛物线OC弧不包括端点．

点评 本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．