Question

已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为，一条准线l：x＝2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．

①若PQ＝，求圆D的方程；

②若M是l上的动点，求证点P在定圆上，并求该定圆的方程．

 

Answer 1

(1) ＋y2＝1 (2)①(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x－1)2＋(y＋1)2＝2②点P在定圆x2＋y2＝2上

【解析】(1)由题设：，∴，∴b2＝a2－c2＝1，

∴椭圆C的方程为：＋y2＝1.

(2)①由(1)知：F(1,0)，设M(2，t)，

则圆D的方程：(x－1)2＋ 2＝1＋，

直线PQ的方程：2x＋ty－2＝0，

∵PQ＝，∴2＝，

∴t2＝4，∴t＝±2.

∴圆D的方程：(x－1)2＋(y－1)2＝2或(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

②设P(x0，y0)，

由①知：，

即：，

消去t得：＝2，

∴点P在定圆x2＋y2＝2上