Question

1．已知函数f（x）=2ax²+3b（a，b∈R），若对于任意x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，则ab的最大值是$\frac{1}{24}$．

Answer 1

分析 由对于任意x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，可得（a，b）对应的可行域，进而根据基本不等式得到ab的最大值．

解答 解：函数f（x）=2ax²+3b图象的顶点为（0，3b），
若若对于任意x∈[-1，1]，都有|f（x）|≤1成立，
则$\left\{\begin{array}{l}-1≤2a+3b≤1\\-1≤3b≤1\end{array}\right.$，
其对应的平面区域如下图所示：

令Z=ab，则在第一，三象限a，b同号时ab取最大值，
由2a+3b=1，a＞0，b＞0得：ab≤$\frac{（2a+3b）^{2}}{24}$=$\frac{1}{24}$，
故答案为：$\frac{1}{24}$

点评 本题考查的知识点是恒成立问题，线性规划，基本不等式，是不等式和函数的综合应用，难度中档．