Question

11．若对于任意的x∈[1，2]，不等式$\frac{1+ax}{x•{2}^{x}}$≥1恒成立，则实数a的最小值为$\frac{7}{2}$．

Answer 1

分析 若对于任意的x∈[1，2]，不等式$\frac{1+ax}{x•{2}^{x}}$≥1恒成立，则对于任意的x∈[1，2]，不等式a≥2^x-$\frac{1}{x}$恒成立，结合函数的单调性，求出函数的最大值，可得答案．

解答 解：若对于任意的x∈[1，2]，不等式$\frac{1+ax}{x•{2}^{x}}$≥1恒成立，
即对于任意的x∈[1，2]，不等式1+ax≥x•2^x恒成立，
即对于任意的x∈[1，2]，不等式ax≥x•2^x-1恒成立，
即对于任意的x∈[1，2]，不等式a≥2^x-$\frac{1}{x}$恒成立，
由y=2^x，x∈[1，2]为增函数，y=$\frac{1}{x}$，x∈[1，2]为减函数，
故y=2^x-$\frac{1}{x}$，x∈[1，2]为增函数，
故当x=2时，y取最大值$\frac{7}{2}$，
即a≥$\frac{7}{2}$，
故实数a的最小值为$\frac{7}{2}$，
故答案为：$\frac{7}{2}$．

点评 本题考查的知识点是函数恒成立问题，将问题转化为函数的最值问题，是解答的关键．