Question

6．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₅=10，S₁₅=240．
（1）求{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足：${b_n}={a_{3^n}}$，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得通项公式和求和公式；
（2）由（1）可得{b_n}是等比数列，首项为6，公比为3，代入求和公式计算可得．

解答 解：（1）设{a_n}的首项为a₁，公差为d，
则a₅=a₁+4d=10，${S_{15}}=\frac{{{a_1}+{a_{15}}}}{2}×15=15{a_8}=240$，
∴a₈=16=a₁+7d，解方程组可得a₁=2，d=2，
∴a_n=2n，${S_n}=\frac{{{a_1}+{a_n}}}{2}×n=\frac{2+2n}{2}×n=n（n+1）$；
（2）由（1）可得${b_n}=2×{3^n}$，∵$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=3$，
∴{b_n}是等比数列，首项为6，公比为3，
∴${T_n}=\frac{{{b_1}（1-{q^n}）}}{1-q}=\frac{{6（1-{3^n}）}}{1-3}=3（{3^n}-1）={3^{n+1}}-3$

点评 本题考查等差、等比数列的通项公式和求和公式，属中档题．