Question

16．已知函数$f（x）=\frac{kx-1}{x+1}$
（Ⅰ）若f（x）在（-1，+∞）上是增函数，求k的取值范围；
（Ⅱ）当x＞0时，f（x）＜ln（x+1）恒成立，求整数k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若f（x）在（-1，+∞）上是增函数，转化为f′（x）≥0恒成立，即可求k的取值范围；
（Ⅱ）构造函数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．

解答 解：（I）因为$f'（x）=\frac{k+1}{{{{（x+1）}^2}}}≥0$在（-1，+∞）上恒成立，所以k≥-1．
又当k=-1时，f（x）是常函数，所以k＞-1．…（4分）
（II）设$g（x）=\frac{kx-1}{x+1}-ln（x+1），（x＞0）$则$g'（x）=\frac{-x+k}{{{{（x+1）}^2}}}$
（i）当k≤0时，g'（x）＜0，g（x）在（0，+∞）上是减函数，
所以，g（x）＜g（0）=-1＜0，不等式f（x）＜ln（x+1）恒成立．…（7分）
（ii）当k＞0时，x∈（0，k）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．
x∈（k，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数．
所以，g（x）≤g（k）=k-1-ln（k+1）
要使不等式f（x）＜ln（x+1）恒成立，只需k-1-ln（k+1）＜0恒成立．
设h（x）=x-1-ln（x+1），（x＞0）
则$h'（x）=1-\frac{1}{x+1}＞0$，所以，h（x）在（0，+∞）是增函数．
又h（2）=1-ln3＜0，h（3）=2-ln4＞0
所以，整数k的最大值为2．…（12分）

点评 本题主要考查函数单调性和导数的关系，以及不等式恒成立问题，构造函数转化为导数问题是解决本题的关键．