Question

14．2015年7月31日，国际奥委会在吉隆坡正式宣布2022年奥林匹克冬季运动会（简称冬奥会）在北京和张家口两个城市举办，某中学为了普及奥运知识，举行了一次奥运知识竞赛，分析发现，成绩x服从正态分布，即x～N（85，σ²）（满分100分），已知P（x＜80）=0.2，P（x≥95）=0.1，任意选取3名考生．
（I）求抽到的3名考生成绩在[80，90）、[90，95）和[95，100]内各有1名考生的概率；
（Ⅱ）记抽到的3名同学中，成绩在[80，90）的人数是ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由已知得P（80≤ξ＜90）=1-0.2-0.2=0.6，P（90≤ξ＜95）=0.2-0.1=0.1，P（95≤ξ＜100）=0.1，由此能求出抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80，90），[90，95），[95，100]各有一位同学的概率．
（2）由已知得ξ服从二项分布B（3，0.6），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

解答 解：（Ⅰ）∵P（x＜80）=0.2，P（x≥95）=0.1，
∴P（80≤ξ＜90）=1-0.2-0.2=0.6，
P（90≤ξ＜95）=0.2-0.1=0.1，
P（95≤ξ＜100）=0.1，
∴抽到的3名考生成绩在[80，90）、[90，95）和[95，100]内各有1名考生的概率：
p=${A}_{3}^{3}×0.6×0.1×0.1$=0.036．
（Ⅱ）∵抽到的3名同学中，成绩在[80，90）的人数是ξ，P（80≤ξ＜90）=0.6，
∴ξ～B（3，0.6），
P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}（0.4）^{3}$=0.064，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}×0.6×（0.4）^{2}$=0.288，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}×（0.6）^{2}×0.4$=0.432，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}×（0.6）^{3}$=0.216，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	0.064	0.288	0.432	0.216

Eξ=3×0.6=1.8．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机就是的分布列和数学期望的合理运用，是中档题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用．