Question

13．f（x）=ax²-c，且-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，则f（3）的取值范围[-1，20]．

Answer 1

分析 法一、由已知求出a-c，4a-c的范围，把f（3）转化为a-c，4a-c的形式得答案．
法二、由-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：法一、∵f（x）=ax²-c，且-4≤f（1）≤-1，-1≤f（2）≤5，
∴-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5，
则f（3）=9a-c=m（a-c）+n（4a-c）=（m+4n）a-（m+n）c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+4n=9}\\{m+n=1}\end{array}\right.$，解得m=-$\frac{5}{3}$，n=$\frac{8}{3}$．
∴$\frac{5}{3}≤-\frac{5}{3}（a-c）≤\frac{20}{3}$，$-\frac{8}{3}≤\frac{8}{3}（4a-c）≤\frac{40}{3}$．
∴f（3）=9a-c=$-\frac{5}{3}（a-c）+\frac{8}{3}（4a-c）∈$[-1，20]．
法二、
由-4≤a-c≤-1，-1≤4a-c≤5作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{a-c=-4}\\{4a-c=5}\end{array}\right.$，解得C（3，7），
化目标函数z=f（3）=9a-c为c=9a-z，
由图可知，当直线c=9a-z过A（0，1）时z有最小值-1；
当直线c=9a-z过C（3，7）时z有最大值为20．
故答案为：[-1，20]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查利用待定系数法求解不等式的范围问题，是中档题．