Question

3．若函数f（x）不是常函数，且对?a，b∈R，有f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）求证：f（x）为偶函数；
（3）求证：若f（2）=1，f（1）≠1，则对?x∈R有f（x+2）=f（x）．

Answer 1

分析 （1）令a=b=0，求出f（0），再进行验证即可；
（2）根据f（a+b）+f（a-b）=2f（a）f（b），令a=0，得到f（b）=f（-b），从而很容易得到函数f（x）的奇偶性．
（3）可得f（x）+f（1-x）=0，即可证明结论．

解答 （1）解：令a=b=0，得：2f（0）=2f²（0），所以f（0）=0或1；
若f（0）=0，则令b=0，得：f（a）=0与f（x）不是常函数矛盾，所以f（0）=0舍去．
所以：f（0）=1；
（2）证明：令a=0得：f（b）+f（-b）=2f（b）?f（b）=f（-b），所以：f（x）为偶函数；
（3）解：令a=b=1，可得f（2）+f（0）=2f（1）f（1），因为f（2）=1，f（1）≠1，
所以$f（1）=-1，f（\frac{1}{2}）=0，f（\frac{1}{2}+b）+f（\frac{1}{2}-b）=0，f（x）+f（1-x）=0$；
所以f（-x）=-f（1+x）⇒f（x）=f（x+2）．

点评 本题主要考查了抽象函数及其应用．对抽象的问题或一般性难以解决的问题，不妨剖析一个特殊情形，进而可望从结论或方法上得到某种启发，亦可构造一个满足条件的特殊模型，从中发现寓于一般情形之中的隐含性质．