Question

下列命题中，真命题的序号是

 

．
（1）x∈R，y=f（x）-f（-x）是奇函数
（2）x∈R，y=|f（x）|是偶函数
（3）f（x）在R上是增函数，则f（f（x））在R上也是增函数
（4）若f（x），g（x）均为R上的增函数，则y=f（x）g（x）在R上也是增函数
（5）若f（x）在R上是增函数，则

1

f(x)

在R上是减函数．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,函数的性质及应用

分析：（1）令F（x）=f（x）-f（-x），运用奇偶性的定义，即可判断；
（2）比如f（x）=x+1，由奇偶性的定义，即可判断；
（3）f（x）在R上是增函数，由增函数的定义，即可判断y=f（f（x））在R上也是增函数；
（4）若f（x），g（x）均为R上的增函数，比如f（x）=x，g（x）=x，即可判断；
（5）若f（x）在R上是增函数，比如f（x）=x，即可判断．

解答： 解：（1）令F（x）=f（x）-f（-x），则F（-x）=f（-x）-f（x）=-F（x），则F（x）为奇函数，故（1）对；
（2）比如f（x）=x+1，则|f（x）|=|x+1|，显然不是偶函数，故（2）错；
（3）f（x）在R上是增函数，即对任意的x₁，x₂，x₁＜x₂，都有f（x₁）＜f（x₂），
也都有f（f（x₁））＜f（f（x₂）），即y=f（f（x））在R上也是增函数，故（3）对；
（4）若f（x），g（x）均为R上的增函数，比如f（x）=x，g（x）=x，y=f（x）g（x）=x²在（0，+∞）上
是增函数，故（4）错；
（5）若f（x）在R上是增函数，比如f（x）=x，则y=

1

x

在（-∞，0），（0，+∞）上均为减函数，
故（5）错．
故答案为：（1）、（3）．

点评：本题考查函数的性质和运用，考查函数的单调性和奇偶性，以及复合函数的单调性，属于易错题．