Question

15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且ccosA，bcosB，acosC成等差数列．
（1）求角B的大小；
（2）若a+c=$\sqrt{10}$，b=2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由等差数列和正弦定理以及和差角的三角函数公式可得cosB，由三角形的内角的范围可得B=$\frac{π}{3}$；
（2）把已知数代入余弦定理整体可得ac=2，代入三角形的面积公式可得．

解答 解：（1）∵在△ABC中ccosA，bcosB，acosC成等差数列，
∴2bcosB=ccosA+acosC，
由正弦定理可得2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosB=sin（C+A）=sinB，由B∈（0，π）可得sinB＞0，
约掉sinB可得cosB=$\frac{1}{2}$，再由B∈（0，π）可得B=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a+c=$\sqrt{10}$，b=2，B=$\frac{π}{3}$，
∴由余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，
代入数据可得4=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac=10-3ac，解得ac=2，
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及整体思想和三角形的面积公式，属中档题．