Question

5．已知函数f（x）=x|x-a|
（1）判断f（x）的奇偶性，并证明；
（2）求实数a的取值范围，使函数g（x）=f（x）+2x+1在R上恒为增函数；
（3）求函数f（x）在[-1，1]的最小值g（a）．

Answer 1

分析 （1）对参数a进行讨论，利用奇偶函数的定义，即可得出结论；
（2）将函数g（x）=f（x）+2x+1写成分段函数的形式，分别确定各段的单调性，即可建立不等式组，从而可求实数a的取值范围．
（3）根据a和区间的关系，建立条件关系即可得到结论．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=x|x|，定义域为R，
又f（-x）=（-x）|-x|=-x|x|=-f（x），∴f（x）是奇函数．   
当a≠0时，f（a）=0，f（-a）=-a|a|，∵f（-a）≠±f（a），
∴f（x）是非奇非偶函数．                                 
∴当a=0时，f（x）为奇函数；当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数． 
（2）g（x）=x|x-a|+2x+1=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+（2-a）x+1，x≥a}\\{-{x}^{2}+（2+a）x+1，x＜a}\end{array}\right.$在R上恒为增函数，
∴y=x²+（2-a）x+1在[a，+∞）上是增函数，且y=-x²+（2+a）x+1在（-∞，a]上是增函数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2-a}{2}≤a}\\{\frac{2+a}{2}≥a}\end{array}\right.$，
∴-2≤a≤2．
（3）函数f（x）=x|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax，x≥a}\\{ax-{x}^{2}，x＜a}\end{array}\right.$，
①当-1≤a≤1时，函数的图象如图，可知函数f（x）在区间[-1，1]上的最小值为f（-1）=-|a+1|．
②当a＞1时，f（x）在（-∞，$\frac{a}{2}$）上单调增，
此时函数y=f（x）在区间[-1，1]上的最小值为f（-1）=|a+1|=a+1．
③当-2＜a＜-1时，f（x）在[-1，$\frac{a}{2}$）上单调减，在（$\frac{a}{2}$，1]上单调增，此时函数y=f（x）在区间[-1，1]上的最小值为f（$\frac{a}{2}$）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$．
④当a≤-2时，f（x）在[-1，1]上单调增，此时函数y=f（x）在区间[-1，1]上的最小值为f（-1）=-|1+a|=1+a．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查分类讨论的数学思想，考查分段函数的单调性，解题的关键是合理化去绝对值符号．