Question

【题目】 如图，△ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点

（Ⅰ）证明：△ABE∽△ADC；

（Ⅱ）若△ABC的面积，求的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）先证明∠BAE＝∠CAD，∠AEB＝∠ACD，利用相似三角形的判定定理可得结论；（Ⅱ）利用三角形相似可得AB·AC＝AD·AE，结合△ABC的面积，可得sin∠BAC＝1，从而可得结果.

由已知条件，可得∠BAE＝∠CAD.

因为∠AEB与∠ACB是同弧上的圆周角，

所以∠AEB＝∠ACD.

故△ABE∽△ADC.

（Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以，

即AB·AC＝AD·AE.

又S＝AB·AC·sin∠BAC，且S＝AD·AE，

故AB·AC·sin∠BAC＝AD·AE.

则sin∠BAC＝1，又∠BAC为三角形内角，所以∠BAC＝90°.