Question

由函数y=f（x）确定数列{a_n}，a_n=f（n），若函数y=f（x）的反函数y=f^-1（x）能确定数列{b_n}，b_n=f^-1（n），则称数列{b_n}是数列{a_n}的“反数列”．
（1）若函数确定数列{a_n}的反数列为{b_n}，求{b_n}的通项公式；
（2）对（1）中{b_n}，不等式对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围；
（3）设，若数列{c_n}的反数列为{d_n}，{c_n}与{d_n}的公共项组成的数列为{t_n}，求数列{t_n}前n项和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1），，由此能求出数列{a_n}的反数列为{b_n}的通项公式．（2）把不等式化为，，，数列{T_n}单调递增，所以（T_n）_min=T₁=1，要使不等式恒成立，只要，由此能求出使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围．
（3）设公共项t_k=c_p=d_n，k、p、q为正整数，当λ为奇数时，t_n=2n-1，{t_n}的前n项和S_n=n²．当λ为偶数时，t_n=3ⁿ，{t_n}的前n项和．
解答：解：（1）（n为正整数），
所以数列{a_n}的反数列为{b_n}的通项（n为正整数）（2分）
（2）对于（1）中{b_n}，不等式化为..（3分）
，，
∴数列{T_n}单调递增，（5分）
所以（T_n）_min=T₁=1，要是不等式恒成立，只要．（6分）
∵1-2a＞0，∴，又
所以，使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是..（8分）
（3）设公共项t_k=c_p=d_n，k、p、q为正整数，
当λ为奇数时，（9分）
，则{c_n}?{b_n}（表示{c_n}是{b_n}的子数列），t_n=2n-1
所以{t_n}的前n项和S_n=n²..（11分）
当λ为偶数时，c_n=3ⁿ，d_n=log₃n（12分）
3q=log₃q，则，同样有{c_n}?{b_n}，t_n=3ⁿ
所以{t_n}的前n项和（14分）
点评：本题考查数列通项公式的求法、实数的取值范围和前n项和的求法，解题时要注意导数的合理运用和分类讨论思想的灵活运用．