Question

已知a、b是正常数，a≠b，x、y∈（0，+∞），不等式

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

（*式）恒成立（等号成立的条件是ay=bx），利用（*式）的结果求函数f(x)=

2

x

+

9

1-2x

(x∈(0，

1

2

))的最小值（　　）

• A、121
• B、169
• C、25
• D、11+6

  2

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,不等式

专题：函数的性质及应用

分析：由题目要求，利用已给的性质求函数f（x）的最小值，类比基本不等式求最值思路，可将函数左边变形后，运用所给规律时，使不等式

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

右边分母为常数即可，为此将f(x)=

2

x

+

9

1-2x

(x∈(0，

1

2

))中的“

2

x

”变成“

4

2x

”，然后套用规律求出f（x）的最小值．

解答： 解：由已知x∈(0，

1

2

)，所以x＞0，1-2x＞0，
又∵不等式

a2

x

+

b2

y

≥

(a+b)2

x+y

（*式）恒成立（等号成立的条件是ay=bx），
∴f(x)=

2

x

+

9

1-2x

=

22

2x

+

32

1-2x

≥

(2+3)2

2x+1-2x

=25，
当且仅当2（1-2x）=2x•3，即x=

1

5

时取等号，显然成立，
∴函数f(x)=

2

x

+

9

1-2x

(x∈(0，

1

2

))的最小值为25．
故选C

点评：此题的解法是建立在运用基本不等式求最值的思路基础上的，要使左边取得最小值，只需①a、b是正常数，a≠b，x、y∈（0，+∞）；②x+y是常数；③等号成立的条件ay=bx存在．