Question

如图，已知鞭形ABEF所在平面与直角梯形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2CD=4，∠BAD=∠CDA=90°，∠EFA=60°，点H，G分别是线段EF，BC的中点，点M为HE的中点．
（Ⅰ）求证：MG∥平面ADF．
（Ⅱ）求证：平面AHC⊥平面BCE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AD的中点N，连接FN，NG，由于G为BC的中点，ABCD为直角梯形，AB=2CD=4，进而可知NG∥AB，且NG=3，又ABEF为菱形，推断出EF∥AB，且EF=AB=4，又H为EF的中点，M为HE的中点，推断出FM=3，且FM∥NG，进而可知四边形FMGN为平行四边形，即MG∥FN，利用线面平行的判定定理知MG∥平面ADF．
（Ⅱ）连接AE，因为ABFE为菱形，∠EFA=60°，H为EF的中点，根据AH⊥EF，即有AH⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，AB为面ABEF与面ABCD的交线，进而可知AH⊥面ABCD，根据线面垂直的性质可知AH⊥BC，在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=4，CD=AD=2，进而可求得∠ABC，根据AB∥CD，求得∠BCD，又在△ADC中，∠ADC=90°，AD=CD，
求得∠ACD，进而可知∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°，即AC⊥BC，根据线面垂直的判定定理知BC⊥平面AHC，最后根据面面垂直的判定定理推断出平面AHC⊥平面BCE．

解答： 证明：（Ⅰ）取AD的中点N，连接FN，NG，
∵G为BC的中点，ABCD为直角梯形，AB=2CD=4，
∴NG∥AB，且NG=

AB+CD

2

=3，
又ABEF为菱形，
∴EF∥AB，且EF=AB=4，
又∵H为EF的中点，M为HE的中点，
∴FM=3，且FM∥NG，
∴四边形FMGN为平行四边形．
∴MG∥FN，
又∵FN?平面ADF，MG?平面ADF，
∴MG∥平面ADF．
（Ⅱ）连接AE，因为ABFE为菱形，∠EFA=60°，H为EF的中点，
∴AH⊥EF，即有AH⊥AB，
∵平面ABEF⊥平面ABCD，AB为面ABEF与面ABCD的交线，
∴AH⊥面ABCD，
∵BC?平面ABCD，
∴AH⊥BC，
∵在直角梯形ABCD中，∠BAD=∠CDA=90°，AB=4，CD=AD=2，
∴∠ABC=45°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=135°
又在△ADC中，∠ADC=90°，AD=CD，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACB=∠BCD-∠ACD=90°，即AC⊥BC，
又AH?平面AHC，AC?平面AHC，
∴BC⊥平面AHC，
∵BC?平面BCE，
∴平面AHC⊥平面BCE．

点评：本题主要考查了面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理及线面垂直的判定定理的应用．考查了学生基础知识的综合运用．