Question

【题目】设函数，其中是自然对数的底数.

(1)若在上为单调函数，求实数的取值范围；

(2)若，求证： 有唯一零点的充要条件是.

Answer 1

【答案】（1）；(2)见解析.

【解析】试题分析：（1）讨论两种情况，当 时，不是单调函数，当时，由， 在为单调递增函数，从而可得结果；(2) 当时，研究函数的单调性可得函数有唯一零点，若函数有唯一零点，用反证法可证明只有合题意.

试题解析：（1）

当a>0时，由得

当时， ， 为单调增函数；

当时， ， 为单调减函数，

所以在上不为单调函数

当时，由， 在为单调递增函数，

所以实数得取值范围是。

(2)充分性：当时， ，

令得

当时， ， 为单调增函数，所以

当时， ， 为单调减函数，所以

所以函数有唯一零点

必要性：设函数有唯一零点，因为，所以，

因为，由（1）知，当且仅当时，取得最小值

记，所以

令得

当时， ， 为单调减函数，

即

因为，且，

所以在内有零点，与题意相矛盾。

当时，同理有

因为，存在- ，有

所以在内有零点，与题意相矛盾。

故

综上， 有唯一零点的充要条件是。