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    【题目】已知函数.

    (1) 时，证明： ；

    (2)当时，直线和曲线切于点，求实数的值；

    (3)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

    【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

    【解析】【试题分析】（1）依据题设条件构造函数，运用导数知识求出其最小值，从而使得不等式获证；（2）先设切点坐标为， ，然后建立方程组，求得.进而得到；（3）依据题设条件将不等式转化为恒成立， 进而分离参数，构造函数，将问题转化为求函数的最小值来求解：

    解：(1)记，

    ∵，

    令得，

    当， ， 递减；当， ， 递增，

    ∴，

    ，

    得.

    (2)切点为， ，则

    ，∴，

    ∵，∴由(1)得.

    所以.

    (3)由题意可得恒成立，

    所以，

    下求的最小值，

    ，

    由(1) 知且.

    所以， 递减，

    ∵，∴.

    所以.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另外15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另外30人比较粗心.

    （1）试根据上述数据完成列联表；

    数学成绩及格

    数学成绩不及格

    合计

    比较细心

    45

    比较粗心

    合计

    60

    100

    （2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？

    参考数据：独立检验随机变量的临界值参考表：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    ，其中

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某学校课题组为了研究学生的数学成绩与学生细心程度的关系，在本校随机调查了100名学生进行研究.研究结果表明：在数学成绩及格的60名学生中有45人比较细心，另外15人比较粗心；在数学成绩不及格的40名学生中有10人比较细心，另外30人比较粗心.

    （1）试根据上述数据完成列联表；

    数学成绩及格

    数学成绩不及格

    合计

    比较细心

    45

    比较粗心

    合计

    60

    100

    （2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为学生的数学成绩与细心程度有关系？

    参考数据：独立检验随机变量的临界值参考表：

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

    ，其中

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在80以上（含80）的同学获奖.按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）

    （Ⅰ）求所抽取样本的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

    （Ⅱ）填写下面的列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？

    附表及公式：

    ，其中

    0.15

    0.10

    0.05

    0.025

    0.010

    0.005

    0.001

    2.072

    2.706

    3.841

    5.024

    6.635

    7.879

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】设函数，其中是自然对数的底数.

    (1)若在上为单调函数，求实数的取值范围；

    (2)若，求证： 有唯一零点的充要条件是.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知曲线的极坐标方程为，在以极点为直角坐标原点，极轴为轴的正半轴建立的平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.

    （1）写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；

    （2）在平面直角坐标系中，设曲线经过伸缩变换： 得到曲线，若为曲线上任意一点，求点到直线的最小距离.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了调查某高中学生每天的睡眠时间，随即对20名男生和20名女生进行问卷调查.

    （1）现把睡眠时间不足5小时的定义为“严重睡眠不足”，从睡眠时间不足6小时的女生中随机抽取3人，求此3人中恰有一人为“睡眠严重不足”的概率；

    （2）完成下面列联表，并回答是否有的把握认为“睡眠时间与性别有关”？

    参考公式： ，

    临界表值：

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】在如图所示的多面体中， 平面， ， ， ， ， ， ， 是的中点.

    (1)求证： 平面；

    (2)求二面角的余弦值.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】“DD共享单车”是为城市人群提供便捷经济、绿色低碳的环保出行方式，根据目前在三明市的投放量与使用的情况，有人作了抽样调查，抽取年龄在二十至五十岁的不同性别的骑行者，统计数据如下表所示：

    男性

    女性

    合计

    20～35岁

    40

    100

    36～50岁

    40

    90

    合计

    100

    90

    190

    (1)求统计数据表中的值；

    (2)假设用抽到的100名20～35岁年龄的骑行者作为样本估计全市的该年龄段男女使用“DD共享单车”情况，现从全市的该年龄段骑行者中随机抽取3人，求恰有一名女性的概率；

    (3)根据以上列联表，判断使用“DD共享单车”的人群中，能否有的把握认为“性别”与“年龄”有关，并说明理由.

    参考数表：

    参考公式： ， .

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