Question

设A（x₁，y₁）、B（4，

9

5

）、C（x₂，y₂）是右焦点为F的椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上三个不同的点，若|AF|、|BF|、|CF|成等差数列，则x₁+x₂=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆方程求出右准线方程、e，由圆锥曲线的统一定义知，用e和点到准线的距离表示出|AF|、|BF|、|CF|，由丨AF丨、丨BF丨、丨CF丨成等差数列列出方程，化简求出x₁+x₂的值．

解答： 解：由题意得，椭圆方程是：

x2

25

+

y2

9

=1，
则a=5、b=3，解得c=4，
右准线方程是：x=

a2

c

=

25

4

，e=

c

a

=

4

5

，
由圆锥曲线的统一定义知，

|AF|

a2 c -x1

=

c

a

，则|AF|=

4

5

(

25

4

-x1)，
同理得：丨BF丨=

4

5

(

25

4

-4)、丨CF丨=

4

5

(

25

4

-x2)，
因为丨AF丨，丨BF丨，丨CF丨成等差数列，
所以2丨BF丨=丨AF丨+丨CF丨，
即2×

4

5

(

25

4

-4)=

4

5

(

25

4

-x1)+

4

5

(

25

4

-x2)，
化简得：x₁+x₂=8，
故答案为：8．

点评：本题主要考查圆锥曲线的统一定义，考查学生的计算能力，属于中档题．