Question

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，O是坐标原点，过点F的直线l与C交于A、B两点，若l的法向量

n

=（1，1）．求：
（1）直线l的方程；
（2）求

OA

•

OB

．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出抛物线的焦点和直线l的斜率，得到直线方程，再代入抛物线方程，求得交点，再由数量积的坐标公式，即可得到．

解答： 解：抛物线C：y²=4x的焦点为F（1，0），
由l的法向量

n

=（1，1），则l的斜率为-1，
即有直线l：y=-x+1，
代入抛物线方程，得，x²-6x+1=0，解得x=3±2

2

，
即有A（3+2

2

，-2-2

2

），B（3-2

2

，2

2

-2）．
则

OA

•

OB

=（3+2

2

）（3-2

2

）+（-2-2

2

）（-2+2

2

）
=9-8+4-8=-3．
故有（1）x+y-1=0，
（2）

OA

•

OB

=-3．

点评：本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立．求出交点，考查运算能力，属于中档题．