Question

若两个实数x、y满足x＞2，y＞0，且x+2y=3，且

2

x-2

+

1

y

＞m²+2m恒成立，则实数m的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：依题意，由y＞0，x=3-2y＞2，可得0＜y＜

1

2

，又x-2=1-2y，于是利用基本不等式可求得（

2

x-2

+

1

y

）_min=8，再解不等式m²+2m＜8，即可求得实数m的取值范围．

解答： 解：∵x＞2，y＞0，且x+2y=3，
∴x=3-2y＞2，
∴0＜y＜

1

2

，又x-2=1-2y，
∴

2

x-2

+

1

y

=

2

1-2y

+

1

y

=

1

(1-2y)y

=

2

(1-2y)•2y

≥

2

( 1-2y+2y 2 )2

=8（当且仅当y=

1

4

时取“=”），
即（

2

x-2

+

1

y

）_min=8，
∵

2

x-2

+

1

y

＞m²+2m恒成立，
∴m²+2m＜8，
解得：-4＜m＜2．
故答案为：（-4，2）．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查基本不等式的应用，求得（

2

x-2

+

1

y

）_min=8是关键，考查等价转化思想与运算求解能力．