Question

已知C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

），且离心率为

1

2

．
（1）求椭圆方程；
（2）直线l过点（-1，0），与椭圆C相交于A、B两点，且|AB|=

10

3

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）代入点，运用离心率公式和a，b，c的关系，列方程，解得即可得到椭圆方程；
（2）设出直线方程，联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理和弦长公式，计算即可求得斜率，进而得到直线方程．

解答： 解：（1）C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点（1，

3

2

），
则

1

a2

+

9

4b2

=1，又e=

c

a

=

1

2

，a²-b²=c²，
解得，a=2，b=

3

，
则椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由于直线l过点（-1，0），则设直线l：y=k（x+1），
联立椭圆方程，消去y，得，（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
则判别式64k⁴-4（3+4k²）（4k²-12）＞0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
则有|AB|=

1+k2

•

( -8k2 3+4k2 )2-4• 4k2-12 3+4k2

=

10

3

，
解得，k²=

3

2

，检验判别式大于0，成立．即有k=±

6

2

．
则直线l的方程为：

3

x-

2

y+

3

=0，或

3

x+

2

y+

3

=0．

点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．