Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列命题正确的是

 

（写出所有正确命题的序号）．
①

b

a

cosC＜1-

c

a

cosB；
②△ABC的面积为S_△ABC=

1

2

AB

•

AC

•tanA；
③若acosA=ccosC，则△ABC一定为等腰三角形；
④若A是△ABC中的最大角，则△ABC为钝角三角形的充要条件是-1＜sinA+cosA＜1；
⑤若A=

π

3

，a=

3

，则b的最大值为2．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：解三角形

分析：①利用正弦定理与两角和的正弦可得sin（B+C）=sinA＜sinA，可判断①；
②当A=

π

2

时，tanA无意义可判断②；
③利用正弦定理与二倍角的正弦可判断③；
④若A为钝角，利用三角恒等变换可得-1＜sinA+cosA＜1，可判断④；
⑤利用正弦定理可得b=

asinB

sinA

≤

a

sinA

=

3

3 2

=2，可判断⑤．

解答： 解：对于①，在△ABC中，∵

b

a

cosC＜1-

c

a

cosB，
∴bcosC+ccosB＜a，
由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB＜sinA，即sin（B+C）=sinA＜sinA，故①错误；
对于②，当A=

π

2

时，tanA无意义，故②错误；
对于③，若acosA=ccosC，则sin2A=sin2C，所以A=C或A+C=

π

2

，
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故③错误；
对于④，若A为钝角，则A+

π

4

∈（

3π

4

，

5π

4

），
∴sin（A+

π

4

）∈（-

2

2

，

2

2

），
∴

2

sin（A+

π

4

）∈（-1，1），
即（sinA+cosA）∈（-1，1），
∴△ABC为钝角三角形的充要条件是-1＜sinA+cosA＜1，④正确；
对于⑤，若A=

π

3

，a=

3

，则由

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

≤

a

sinA

=

3

3 2

=2，
即b的最大值为2，故⑤正确．
故答案为：④⑤．

点评：本题考查解三角形，着重考查正弦定理的应用，考查两角和的正弦与正弦函数的单调性质的综合应用，考查转化思想，是易错题．