Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，PA⊥底面ABCD，BC=AB=1，PA=AD=2
（1）证明：AB⊥PD；
（2）求直线AB与直线PC夹角的余弦值．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：计算题,作图题,空间位置关系与距离

分析：（1）由题意可证PA⊥AB，结合BA⊥AD可得AB⊥平面PAD，从而得证；
（2）取AD的中点E，连结CE，PE；可知∠PCE为直线AB与直线PC的夹角，在Rt△PCE中解角的余弦值．

解答： 解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，
又∵∠BAD=90°，
∴BA⊥AD，
∴AB⊥平面PAD，
∴AB⊥PD；
（2）取AD的中点E，连结CE，PE；
∵AE=BC=1，AB∥BC，
∴ABCE是平行四边形，
∴AB∥CE，
∴∠PCE为直线AB与直线PC的夹角，
又∵AB⊥平面PAD，
∴CE⊥平面PAD，
∴△PCE为直角三角形，
其中PC=

1+1+4

=

6

，
CE=1，
故cos∠PCE=

1

6

=

6

6

．

点评：本题考查了空间中垂直的判断与证明，同时考查了异面直线的角的解法，属于中档题．